如圖所示,已知以點 為圓心的圓與直線 相切,過點的動直線 與圓 相交于兩點,是的中點,直線與相交于點 .
(1)求圓的方程;
(2)當時,求直線的方程;
(3)是否為定值?如果是,求出其定值;如果不是,請說明理由.
(1); (2)或;(3)是定值,且.
解析試題分析:(1)已知圓的圓心,再根據(jù)直線與圓相切可利用圓心到直線的距離等于半徑來求出圓心,這樣即可求出圓的標準方程; (2)已知直線被圓截得的弦長可聯(lián)想到圓的特征三角形的三邊的關(guān)系: ,又直線過一點可聯(lián)想到設(shè)出直線的點斜式方程,但此處一定要注意斜率是否存在從而分兩種情況討論:當斜率不存在時,由圖可直接分析得出;當斜率存在時,先計算出圓心到直線的距離,再結(jié)合已知由上述特征三角形的關(guān)系可求出直線的斜率,進而得出直線方程; (3)要判斷是否為定值,發(fā)現(xiàn)點是弦的中點,根據(jù)圓的幾何性質(zhì)有:,即可得,再由向量運算的知識可知,這樣可轉(zhuǎn)化為去求,最后結(jié)合(2)中所設(shè)直線的兩種形式去求出點的坐標,由向量數(shù)量積的運算公式可得是一個常數(shù).
試題解析:(1)設(shè)圓的半徑為,因為圓與直線相切,所以,故圓的方程為; (2)當直線與軸垂直時,易知符合題意;當直線與軸不垂直時,設(shè)直線的方程為,即.連接,則,,由,得,得直線的方程為,所求直線的方程為:或;(3) ,當直線與軸垂直時,得,則,又,當直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為,由 ,解得, ,綜上所述,是定值,且.
考點:1.圓的方程;2.直線與圓的位置關(guān)系;3.向量的數(shù)量積
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知曲線C上的動點P()滿足到定點A(-1,0)的距離與到定點B(1,0)距離之比為
(1)求曲線C的方程。
(2)過點M(1,2)的直線與曲線C交于兩點M、N,若|MN|=4,求直線的方程。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知半徑為2,圓心在直線上的圓C.
(Ⅰ)當圓C經(jīng)過點A(2,2)且與軸相切時,求圓C的方程;
(Ⅱ)已知E(1,1),F(1,-3),若圓C上存在點Q,使,求圓心的橫坐標的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知動點到定點與到定點的距離之比為.
(1)求動點的軌跡C的方程,并指明曲線C的軌跡;
(2)設(shè)直線,若曲線C上恰有三個點到直線的距離為1,求實數(shù)的值。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知圓,直線.
(1)判斷直線與圓C的位置關(guān)系;
(2)設(shè)與圓C交與不同兩點A、B,求弦AB的中點M的軌跡方程;
(3)若定點P(1,1)分弦AB為,求此時直線的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標系中,已知圓 的圓心為,過點且斜率為的直線與圓相交于不同的兩點.
(Ⅰ)求的取值范圍;
(Ⅱ)以O(shè)A,OB為鄰邊作平行四邊形OADB,是否存在常數(shù),使得直線OD與PQ平行?如果存在,求值;如果不存在,請說明理由.
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