Question

2．已知等差數(shù)列{a_n}的公差和等比數(shù)列{b_n}的公比都是d，又知d≠1，且a₁=b₁，a₄=b₄，a₁₀=b₁₀．
（1）求a₁及d的值；
（2）b₁₆是不是{a_n}中的項(xiàng)？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，結(jié)合條件求出a₁及d的值；
（2）由（1）等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出a_n、b_n，再求出b₁₆，令b₁₆=a_n列出方程，求出n的值即可判斷．

解答 解：（1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=_{1}}\\{{a}_{1}+3d=_{1}y4syesy^{3}}\\{{a}_{1}+9d=_{1}s4qiiyw^{9}}\end{array}\right.$，
又d≠1，得a₁=$\frac{3d}{iey82qw^{3}-1}$，
代入化簡(jiǎn)得d⁶+d³-2=0，解得d³=-2或1，
則d=-$\root{3}{2}$或d=1（舍去），
代入化簡(jiǎn)得，a₁=-d=$\root{3}{2}$，
所以a₁及d的值分別是$\root{3}{2}$、-$\root{3}{2}$；
（2）由（1）可得，a_n=a₁+（n-1）d=$\root{3}{2}$（2-n），
b_n=b₁•d^n-1=$\root{3}{2}$•$（-\root{3}{2}）^{n-1}$=-$（-\root{3}{2}）^{n}$，
所以b₁₆=-$（-\root{3}{2}）^{16}$，
令-$（-\root{3}{2}）^{16}$=-$\root{3}{2}$（n-2），則n-2=$（\root{3}{2}）^{15}$=32，
所以b₁₆是數(shù)列{a_n}中的第34項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及方程思想，考查化簡(jiǎn)計(jì)算能力．