Question

10．已知cosα-cosβ=$\frac{1}{2}$，sinα-sinβ=-$\frac{1}{3}$，求cos（α-β）和cos（α+β）的值．

Answer 1

分析 cosα-cosβ=$\frac{1}{2}$⇒cos²α+cos²β-2cosαcosβ=$\frac{1}{4}$①，sinα-sinβ=-$\frac{1}{3}$⇒sin²α+sin²β-2sinαsinβ=$\frac{1}{9}$②，①+②從而可得cos（α-β）的值，由②-①，利用二倍角公式，兩角和的余弦函數(shù)公式，和差化積公式及cos（α-β）的值即可化簡(jiǎn)求值．

解答 解：∵cosα-cosβ=$\frac{1}{2}$，
∴cos²α+cos²β-2cosαcosβ=$\frac{1}{4}$；①
又sinα-sinβ=-$\frac{1}{3}$，
∴sin²α+sin²β-2sinαsinβ=$\frac{1}{9}$；②
①+②得：2-2cos（α-β）=$\frac{13}{36}$，
∴cos（α-β）=$\frac{59}{72}$．
由②-①可得：
sin²α-cos²α+sin²β-cos²β-2sinαsinβ+2cosαcosβ=-$\frac{5}{36}$，
⇒-（cos2α+os2β）+2cos（α+β）=-$\frac{5}{36}$，
⇒-2cos（α+β）cos（α-β）+2cos（α+β）=-$\frac{5}{36}$，
⇒cos（α+β）[2-2cos（α-β）]=-$\frac{5}{36}$，
⇒cos（α+β）（2-2×$\frac{59}{72}$）=-$\frac{5}{36}$，
⇒cos（α+β）=-$\frac{5}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用在三角函數(shù)的求值中的應(yīng)用，著重考查兩角和與差的余弦函數(shù)，考查“平方關(guān)系”的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．