Question

8．已知f（x）=alnx+x+1+$\frac{a+1}{x}$（a∈R）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）已知h（x）=$\frac{2{e}^{x-1}}{x}$+a，若x₁，x₂是f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，且?m∈（0，2]，f（x₁）+f（x₂）＞h（m），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）由題知，$h'（x）=\frac{{2{e^{x-1}}（x-1）}}{x^2}$，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h'（x）＜0，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，h'（x）＞0，故h（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，2）上是增函數(shù)，故h（x）_min=h（1）=a+2，f（1）+f[（-（a+1）]=a+3+aln[-（a+1）]-a-1＞a+2，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∵f′（x）=$\frac{（x+a+1）（x-1）}{{x}^{2}}$，（1分）
當(dāng)a≥-1時(shí)，-（a+1）≤0，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）；
當(dāng)-2＜a＜-1時(shí)，0＜-（a+1）＜1，當(dāng)0＜x＜-（a+1）或x＞1時(shí)，f'（x）＞0，當(dāng)-（a+1）＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，∴f（x）的增區(qū)間為（0，-（a+1）），（1，+∞），減區(qū)間為（-（a+1），1）；
當(dāng)a=-2時(shí)，f'（x）≥0，則f（x）的增區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)a＜-2時(shí)，-（a+1）＞1，當(dāng)1＜x＜-（a+1）時(shí)，f'（x）＜0，當(dāng)0＜x＜1或x＞-（x+1）時(shí)，h'（x）＞0，
∴f（x）的減區(qū)間為（1，-（a+1）），增區(qū)間為（0，1），（-（a+1），+∞）．（5分）
綜上所述，當(dāng)a＜-2時(shí)，f（x）的減區(qū)間為（1，-（a+1）），增區(qū)間為（0，1），（-（a+1），+∞）；
當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)-2＜a＜-1時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0，-（a+1）），（1，+∞），減區(qū)間為（-（a+1），1）；
當(dāng)a≥-1時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）．（6分）
（Ⅱ）由題知，$h'（x）=\frac{{2{e^{x-1}}（x-1）}}{x^2}$，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h'（x）＜0，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，h'（x）＞0，故h（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，2）上是增函數(shù)，故h（x）_min=h（1）=a+2，
由題知f（x₁）+f（x₂）＞a+2，（8分）
由（Ⅰ）知，要使f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，即f'（x）=0在（0，+∞）上有兩解，則a＜-1且a≠-2；
當(dāng)a＜-2時(shí)，f（x）的減區(qū)間為（1，-（a+1）），增區(qū)間為（0，1），（-（a+1），+∞），故f（x）在x=1處取極大值f（1）=a+3，在x=-（a+1）處取極小值f[-（a+1）]=aln[-（a+1）]-a-1；
當(dāng)-2＜a＜-1時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0，-（a+1）），（1，+∞），減區(qū)間為（-（a+1），1），故f（x）在x=1處取極小值f（1）=a+3，在x=-（a+1）取極大值f[-（a+1）]=aln[-（a+1）]-a-1．
由題知，f（1）+f[（-（a+1）]=a+3+aln[-（a+1）]-a-1＞a+2，（11分）
∴aln[-（a+1）]-a＞0，即ln[-（a+1）]＜1=lne，
∴0＜-（a+1）＜e，解得-1-e＜a＜-1且a≠-2，
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-1-e，-2）∪（-2，-1）．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在求解函數(shù)的極值、函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的最值中的應(yīng)用，要注意分類討論思想及構(gòu)造轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．