Question

18．已知a＞0，f（x）=acosπx+（1-x）sinπx，x∈[0，2]，則f（x）所有的零點之和為2．

Answer 1

分析 x=1，$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$時，f（x）≠0，因此都不是函數(shù)f（x）的零點．由f（x）=acosπx+（1-x）sinπx=0，化為：tanπx=$\frac{a}{x-1}$，（x≠1）．分別作出函數(shù)y=tanπx，y=$\frac{a}{x-1}$，（x≠1）的圖象，則此兩函數(shù)的圖象都關(guān)于（1，0）成中心對稱，即可得出．

解答 解：x=1時，f（1）=acosπ=-a＜0，因此1不是函數(shù)f（x）的零點．同理x=$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$，也不是函數(shù)f（x）的零點．
由f（x）=acosπx+（1-x）sinπx=0，化為：tanπx=$\frac{a}{x-1}$，（x≠1，$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
作出函數(shù)y=tanπx，y=$\frac{a}{x-1}$，（x≠1）的圖象，
則此兩函數(shù)的圖象都關(guān)于（1，0）成中心對稱，
由函數(shù)的單調(diào)性與對稱性可得：x∈[0，2]，兩函數(shù)y=tanπx，y=$\frac{a}{x-1}$，（x≠1）的圖象有且僅有兩個交點，并且關(guān)于（1，0）成中心對稱，不妨設(shè)交點的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=2．
故答案為：2．

點評 本題考查了通過函數(shù)的圖象的交點得出函數(shù)的零點，考查了數(shù)形結(jié)合、推理能力與計算能力，屬于中檔題．