Question

17．已知過點(diǎn)A（0，1）且斜率為k的直線l與圓C：（x-3）²+（y-4）²=1交于M，N點(diǎn)．
（1）求k的取值范圍；
（2）若$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=24，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得，直線l的斜率存在，用點(diǎn)斜式求得直線l的方程，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求得k的值，可得滿足條件的k的范圍．
（2）由題意可得，經(jīng)過點(diǎn)M、N、A的直線方程為y=kx+1，根據(jù)直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解．

解答 解：（1）由題意可得，直線l的斜率存在，
設(shè)過點(diǎn)A（0，1）的直線方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0．
由已知可得圓C的圓心C的坐標(biāo)（3，4），半徑R=1．
若過點(diǎn)A（0，1）且斜率為k的直線l與圓C：（x-3）²+（y-4）²=1交于M，N點(diǎn)，
故圓心C到直線kx-y+1=0的距離d=$\frac{|3k-4+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|3k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜1，
平方得9k²-18k+9＜1+k²，
即8k²-18k+8＜0，即4k²-9k+4＜0，
得$\frac{9-\sqrt{17}}{8}$＜k＜$\frac{9+\sqrt{17}}{8}$．
（2）設(shè)M（x₁，y₁）；N（x₂，y₂），
由題意可得，經(jīng)過點(diǎn)M、N、A的直線方程為y=kx+1，代入圓C的方程（x-3）²+（y-4）²=1，
可得 （1+k²）x²-6（k+1）x+17=0，
∴x₁+x₂=$\frac{6（k+1）}{1+{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{17}{1+{k}^{2}}$，
∴y₁•y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=$\frac{17}{1+{k}^{2}}$•k²+k•$\frac{6（k+1）}{1+{k}^{2}}$+1=$\frac{24{k}^{2}+6k+1}{1+{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁•x₂+y₁•y₂=$\frac{17}{1+{k}^{2}}$+$\frac{24{k}^{2}+6k+1}{1+{k}^{2}}$=24，解得 k=1，
故直線l的方程為 y=x+1，即 x-y+1=0．
圓心C在直線l上，MN長(zhǎng)即為圓的直徑．
所以|MN|=2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系以及向量數(shù)量積的應(yīng)用，以及直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力．