Question

18．若點(diǎn)P是曲線y=x²-lnx上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y=x-2的最小距離為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． 1
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 由題意知，當(dāng)曲線上過點(diǎn)P的切線和直線y=x-2平行時(shí)，點(diǎn)P到直線y=x-2的距離最�。�求出曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)值等于1，可得切點(diǎn)的坐標(biāo)，此切點(diǎn)到直線y=x-2的距離即為所求．

解答 解：點(diǎn)P是曲線y=x²-lnx上任意一點(diǎn)，
當(dāng)過點(diǎn)P的切線和直線y=x-2平行時(shí)，
點(diǎn)P到直線y=x-2的距離最�。�
直線y=x-2的斜率等于1，
令y=x²-lnx，得 y′=2x-$\frac{1}{x}$=1，解得x=1，或x=-$\frac{1}{2}$（舍去），
故曲線y=x²-lnx上和直線y=x-2平行的切線經(jīng)過的切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），
點(diǎn)（1，1）到直線y=x-2的距離等于$\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)P到直線y=x-2的最小距離為$\sqrt{2}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法及導(dǎo)數(shù)的意義，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．