Question

13．已知P是x²+y²-2x-2y+1=0上動(dòng)點(diǎn)，PA、PB是圓（x-4）²+（y-5）²=4的切線，A，B為切點(diǎn)，則∠APB的最大值為60°．

Answer 1

分析 求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，作出對(duì)應(yīng)的圖象，利用兩點(diǎn)間的距離關(guān)系求出CP的距離，要求∠APB最大，等價(jià)為CP最小即可．

解答 解：圓x²+y²-2x-2y+1=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）²+（y-1）²=1，
圓心坐標(biāo)為D（1，1），半徑R=1，
圓（x-4）²+（y-5）²=4的圓心坐標(biāo)為C（4，5），半徑r=2，
若∠APB最大，則∠APC最大，即CP最小，
則由圖象知，CP的最小值為CD-DP=$\sqrt{（4-1）^{2}+（5-1）^{2}}$-1=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}-1$=5-1=4，
此時(shí)sin∠APC=$\frac{AC}{CP}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
則∠APC=30°，
即∠APB=2∠APC=60°，
故答案為：60°

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合將條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．