Question

12．已知向量$\overrightarrow a=（sinx，1），\;\;\overrightarrow b=（4，-2）$，函數(shù)$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)$g（θ）=f（2θ-\frac{π}{4}）$，當θ∈$[{\frac{π}{8}，\frac{3π}{4}}]$時，g（θ）-k=0有解，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）設(shè)$h（x）=\frac{f（x）}{{|\overrightarrow a{|^2}}}$，求函數(shù)h（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由題意利用平面向量的數(shù)量積的運算即可得解．
（2）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得$g（θ）=f（2θ-\frac{π}{4}）=4sin（2θ-\frac{π}{4}）-2$，由$\frac{π}{8}≤θ≤\frac{3π}{4}$，可得$0≤2θ-\frac{π}{4}≤\frac{5π}{4}$，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得$-2\sqrt{2}-2≤4sin（{2θ-\frac{π}{4}}）-2≤2$，由k=g（θ）有解，可得實數(shù)k的取值范圍．
（3）設(shè)t=4sinx-2，則$sinx=\frac{t+2}{4}$，t∈[-6，2]，可得：$h（x）=k（t）=\frac{16t}{{{t^2}+4t+20}}$，當t=0時，k（t）=0；當t≠0時，$k（t）=\frac{16}{{t+\frac{20}{t}+4}}$，可求$t+\frac{20}{t}+4∈（-∞，4-4\sqrt{5}]∪[16，+∞）$，從而函數(shù)h（x）的值域．

解答 （本題滿分14分）
解：（1）$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b=4sinx-2$，…（2分）
（2）$g（θ）=f（2θ-\frac{π}{4}）=4sin（2θ-\frac{π}{4}）-2$，…（3分）
∵$\frac{π}{8}≤θ≤\frac{3π}{4}$，
∴$\frac{π}{4}≤2θ≤\frac{3π}{2}$，
∴$0≤2θ-\frac{π}{4}≤\frac{5π}{4}$，…（4分）
∴$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}≤sin（{2θ-\frac{π}{4}}）≤1$，
∴$-2\sqrt{2}-2≤4sin（{2θ-\frac{π}{4}}）-2≤2$，…（6分）
由于g（θ）-k=0有解，即k=g（θ）有解，故$k∈[-2\sqrt{2}-2，2]$．…（7分）
（3）$h（x）=\frac{\overrightarrow a•\overrightarrow b}{{|\overrightarrow a{|^2}}}$=$\frac{4sinx-2}{{1+{{sin}^2}x}}$，x∈R
設(shè)t=4sinx-2，則$sinx=\frac{t+2}{4}$，t∈[-6，2]…（8分）
可得：$h（x）=k（t）=\frac{16t}{{{t^2}+4t+20}}$，…（9分）
當t=0時，k（t）=0；當t≠0時，$k（t）=\frac{16}{{t+\frac{20}{t}+4}}$，…（10分）
其中$t+\frac{20}{t}+4$在$[-6，-2\sqrt{5}]$遞增，在$（-2\sqrt{5}，0）$遞減，在（0，2]遞減，
∴$t+\frac{20}{t}+4∈（-∞，4-4\sqrt{5}]∪[16，+∞）$，…（12分）
從而$h（x）∈[-1-\sqrt{5}，1]$．…（14分）

點評 本題主要考查了平面向量的數(shù)量積的運算，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．