Question

5．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若S₁、a₃、S₃成等差數(shù)列，且a₂+a₃+a₄=15，若S_n-1600≥0，則n的最小值為40．

Answer 1

分析 等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S₁、a₃、S₃成等差數(shù)列，且a₂+a₃+a₄=15，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式列出方程組，由此能求出n的最小值．

解答 解：∵等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S₁、a₃、S₃成等差數(shù)列，且a₂+a₃+a₄=15，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2（{a}_{1}+2d）={a}_{1}+（3{a}_{1}+3d）}\\{{a}_{1}+d+{a}_{1}+2d+{a}_{1}+3d=15}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=2，
∴S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²，
∵S_n-1600≥0，∴n²≥1600，
∵n∈N^*，∴n的最小值為40．
故答案為：40．

點(diǎn)評(píng) 本題考查項(xiàng)數(shù)n的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．