Question

17．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，a_n+1=$\frac{{1+{a_n}}}{{1-{a_n}}}$（n∈N^*），則該數(shù)列前2016項(xiàng)積a₁•a₂…a₂₀₁₅•a₂₀₁₆=1．

Answer 1

分析 利用遞推關(guān)系可得：a_n+4=a_n．利用周期性即可得出．

解答 解：∵a₁=2，a_n+1=$\frac{{1+{a_n}}}{{1-{a_n}}}$（n∈N^*），
∴a₂=$\frac{1+2}{1-2}$=-3，a₃=$\frac{1-3}{1+3}$=-$\frac{1}{2}$，a₄=$\frac{1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{3}$，a₅=$\frac{1+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}$=2，…，
∴a_n+4=a_n．
則該數(shù)列前2016項(xiàng)積a₁•a₂…a₂₀₁₅•a₂₀₁₆=$（{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}{a}_{4}）^{504}$=$[2×（-3）×（-\frac{1}{2}）×\frac{1}{3}]^{504}$=1，
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列的周期性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．