Question

3．函數(shù)$f（x）=sin（x+\frac{π}{6}）cos（x+\frac{π}{6}）$，給出下列結論正確的是（　�。�

• A． f（x）的最小正周期為 $\frac{π}{2}$
• B． f（x）的一條對稱軸為$x=\frac{π}{6}$
• C． f（x）的一個對稱中心為$（\frac{π}{6}，0）$
• D． $f（x-\frac{π}{6}）$是奇函數(shù)

Answer 1

分析 化簡函數(shù)f（x），求出f（x）的最小正周期T，判斷出A錯誤；
把x=$\frac{π}{6}$代入2x+$\frac{π}{3}$中計算，根據(jù)正弦函數(shù)圖象的對稱性，判斷出B、C錯誤；
化簡f（x-$\frac{π}{6}$），得出f（x-$\frac{π}{6}$）是定義域R上的奇函數(shù)，判斷出D正確．

解答 解：函數(shù)$f（x）=sin（x+\frac{π}{6}）cos（x+\frac{π}{6}）$=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π，A錯誤；
又當x=$\frac{π}{6}$時，2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴x=$\frac{π}{6}$不是f（x）的對稱軸，B錯誤；
同理x=$\frac{π}{6}$時，2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$≠kπ，k∈Z，
∴（$\frac{π}{6}$，0）不是f（x）的對稱中心，C錯誤；
又f（x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=$\frac{1}{2}$sin2x，
∴f（x-$\frac{π}{6}$）是定義域R上的奇函數(shù)，D正確．
故選：D．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質的應用問題，也考查了三角函數(shù)的恒等變換問題，是基礎題目．