Question

12．拋物線(xiàn)y²=8x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P（x，y）為該拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，又已知點(diǎn)A（-2，0），則$\frac{|PA|}{|PF|}$的取值范圍是$[1，\sqrt{2}]$．

Answer 1

分析 過(guò)P作拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為M，則|PF|=|PM|，可得$\frac{|PA|}{|PF|}$=$\frac{1}{sin∠MAP}$，求出過(guò)A拋物線(xiàn)的切線(xiàn)方程，即可得出結(jié)論．

解答 解：過(guò)P作拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為M，則|PF|=|PM|，
∵拋物線(xiàn)y²=8x的焦點(diǎn)為F（2，0），點(diǎn)A（-2，0）
∴$\frac{|PA|}{|PF|}$=$\frac{1}{sin∠MAP}$，
設(shè)過(guò)A拋物線(xiàn)的切線(xiàn)方程為y=k（x+2），代入拋物線(xiàn)方程可得k²x²+（4k²-8）x+4k²=0，
∴△=（4k²-8））²-16k⁴=0，
∴k=±1
∴$\frac{1}{sin∠MAP}$∈[$[1，\sqrt{2}]$．
故答案為：$[1，\sqrt{2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．