Question

13．已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求證：f（x）≥x-1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)切線的斜率為k，利用導(dǎo)數(shù)求解切線斜率，然后求解切線方程．
（Ⅱ）要證：f（x）≥x-1，需證明：g（x）=xlnx-x+1≥0在（0，+∞）恒成立，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值，證明即可

解答 （Ⅰ）解：設(shè)切線的斜率為k，f′（x）=lnx+1，k=f′（1）=ln1+1=1
因?yàn)閒（1）=1•ln1=0，切點(diǎn)為（1，0）．
切線方程為y-0=1•（x-1），化簡(jiǎn)得：y=x-1．----------------------------（4分）
（Ⅱ）證明：要證：f（x）≥x-1
只需證明：g（x）=xlnx-x+1≥0在（0，+∞）恒成立，g′（x）=lnx+1-1=lnx
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x=1時(shí)g（x）_min=g（1）=1•ln1-1+1=0g（x）=xlnx-x+1≥0在（0，+∞）恒成立
所以f（x）≥x-1．-----------------------------------------（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線方程的求法，函數(shù)的最值以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．