Question

2．已知兩定點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），動(dòng)點(diǎn)M滿足|AM|=4，線段MB的垂直平分線與線段AM相交于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)N的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線l與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），試問：是否存在定圓x²+y²=r²（r＞0），使得該圓恒與直線l相切？說明理由．

Answer 1

分析 （I）利用線段的垂直平分線的性質(zhì)、橢圓的定義即可得出．
（ II）當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l方程為y=kx+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由于OP⊥OQ，可得$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0，直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，△＞0，由x₁x₂+y₁y₂=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：${m^2}=\frac{{12+12{k^2}}}{7}$，代入△＞0成立，原點(diǎn)O到直線l的距離可得：d=$\sqrt{\frac{12}{7}}$，直線y=kx+m與圓${x^2}+{y^2}=\frac{12}{7}$相切． 當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)也成立．

解答 解：（Ⅰ）∵點(diǎn)N在線段MB的垂直平分線上，∴|NB|=|NM|，
∴|NA|+|NB|=|NA|+|NM|=|AM|=4＞|AB|，
∴點(diǎn)N的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓．  
設(shè)此橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，則$\left\{{\begin{array}{l}{2a=4}\\{{a^2}-{b^2}=1}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}}\right.$，
∴曲線C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．  
（ II）當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l方程為y=kx+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵OP⊥OQ，∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0，
由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\\{y=kx+m}\end{array}}\right.$得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，…（*）
${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$． 
則${x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}={x_1}{x_2}+（k{x_1}+m）（k{x_2}+m）=（1+{k^2}）{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}$=$（1+{k^2}）×\frac{{4{m^2}-12}}{{3+4{k^2}}}+km×（-\frac{8km}{{3+4{k^2}}}）+{m^2}=0$，
解得${m^2}=\frac{{12+12{k^2}}}{7}$，代入可知不等式（*）成立，
∴原點(diǎn)O到直線l的距離為$d=\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{\sqrt{\frac{{12+12{k^2}}}{7}}}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{\frac{12}{7}}$，
∴直線y=kx+m與圓${x^2}+{y^2}=\frac{12}{7}$相切．    
當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)P在x軸上方，
根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，易得直線OP的方程為y=±x，
由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\\{y=±x}\end{array}}\right.$，解得$P（±\sqrt{\frac{12}{7}}\;，\;\sqrt{\frac{12}{7}}）$，
∴原點(diǎn)O到直線l距離為$\sqrt{\frac{12}{7}}$，因此直線l與圓${x^2}+{y^2}=\frac{12}{7}$相切．
綜上所述：存在定圓${x^2}+{y^2}=\frac{12}{7}$，使得該圓恒與直線l相切．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓相切的充要條件、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．