Question

11．已知曲線C的參數(shù)方程：$\left\{{\begin{array}{l}{x=acosα}\\{y=bsinα}\end{array}}$（α為參數(shù)），曲線C上的點$M（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$對應的參數(shù)α=$\frac{π}{4}$，以坐標原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系．
（Ⅰ）求曲線C的極坐標方程；
（Ⅱ）已知直線l過點P（1，0），且與曲線C于A，B兩點，求|PA|•|PB|的范圍．

Answer 1

分析 （I）由橢圓參數(shù)方程可得：1=a$cos\frac{π}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$=b$sin\frac{π}{4}$，解得a，b．可得曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，化為直角坐標方程，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化為極坐標方程．
（II）直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入曲線C的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：|PA|•|PB|=-t₁t₂，進而得出．

解答 解：（I）由曲線C的參數(shù)方程：$\left\{{\begin{array}{l}{x=acosα}\\{y=bsinα}\end{array}}$（α為參數(shù)），可得：1=a$cos\frac{π}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$=b$sin\frac{π}{4}$，解得a=$\sqrt{2}$，b=1．
∴曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，其直角坐標方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1，可得ρ²cos²θ+2ρ²sin²θ=2．
（II）直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入曲線C的方程可得：（1+sin²θ）t²+2tcosθ-1=0，
∴|PA|•|PB|=-t₁t₂=$\frac{1}{1+si{n}^{2}θ}$∈[$\frac{1}{2}$，1]．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、橢圓的參數(shù)直角方程極坐標方程的互化及其應用、直線的參數(shù)方程的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．