Question

（本小題滿分12分）
已知數(shù)列的相鄰兩項是關(guān)于的方程N的兩根,且.
(1) 求數(shù)列和的通項公式;
(2) 設(shè)是數(shù)列的前項和, 問是否存在常數(shù),使得對任意N都成立,若存在, 求出的取值范圍; 若不存在, 請說明理由.

Answer 1

（1），。（2）。

試題分析：(1) ∵是關(guān)于的方程N的兩根,
∴
由,得, 
故數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列.
∴, 即. 所以。
(2)
.、
要使對任意N都成立,
即(*)對任意N都成立.
當(dāng)為正奇數(shù)時, 由(*)式得,
即,∵, ∴對任意正奇數(shù)都成立.當(dāng)且僅當(dāng)時, 有最小值.      ∴.
② 當(dāng)為正偶數(shù)時, 由(*)式得,
即,∵,∴對任意正偶數(shù)都成立.
當(dāng)且僅當(dāng)時, 有最小值. ∴.            ……12分 
綜上所述, 存在常數(shù),使得對任意N都成立, 的取值范圍是.
點評：本題主要考查用待定系數(shù)法求數(shù)列的通項公式和用分組求和法求數(shù)列的前n項和，屬于常規(guī)題型。第二問主要體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難點。若已知遞推式的形式求數(shù)列的通項公式，一般來說要在原遞推式兩邊同除以來構(gòu)造。