Question

15．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和是S_n，且任意n∈N₊，都有$2{S_n}=a_n^2+{a_n}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)${b_n}={2^n}{a_n}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=1時(shí)計(jì)算可知a₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)通過作差整理可知數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)、公差為1的等差數(shù)列，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（2）通過（1）可知${b_n}=n•{2^n}$，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）由題意知：①當(dāng)n=1時(shí)，∵2S₁=$a_1^2+{a_1}$，所以$a_1^2={a_1}$
∴a₁=1…1分
②當(dāng)n≥2時(shí)，$2{a_n}=2{S_n}-2{S_{n-1}}=a_n^2+{a_n}-（a_{n-1}^2+{a_{n-1}}）$，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∴a_n-a_n-1=1…4分
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，
∴a_n=n…6分
（2）由（1）知a_n=n，
∴${b_n}=n•{2^n}$…7分
∴${T_n}=1×2+2×{2^2}+3×{2^3}+…+n×{2^n}$，
$2{T_n}=1×{2^2}+2×{2^3}+3×{2^4}+…+（n-1）×{2^n}+n×{2^{n+1}}$…8分
相減得$-{T_n}=2+{2^2}+{2^3}+{2^4}+…+{2^n}-n×{2^{n+1}}$…10分
整理得：$-{T_n}=\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}-n×{2^{n+1}}$．
∴${T_n}=（n-1）{2^{n+1}}+2$…12分．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查錯(cuò)位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．