Question

14．已知P在△ABC所在平面內(nèi)，$\overrightarrow{AP}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$），λ∈[0，+∞），則點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過(guò)△ABC的垂心．

Answer 1

分析 可先根據(jù)積為零得出$\overrightarrow{BC}$與$λ（\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}）$垂直，可得點(diǎn)P在BC的高線(xiàn)上，從而得到結(jié)論．

解答 解：∵$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}$+λ$（\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}）$，
∴$\overrightarrow{AP}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$），
又$\overrightarrow{BC}•（\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}）$=-$|\overrightarrow{BC}|+|\overrightarrow{BC}|$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{BC}$與$λ（\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}）$垂直，
即$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BC}$，
∴點(diǎn)P在BC的高線(xiàn)上，即P的軌跡過(guò)△ABC的垂心，
故答案為：垂心．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了向量在幾何中的應(yīng)用、空間向量的加減法、軌跡方程、以及三角形的五心等知識(shí)，屬于中檔題