Question

2．以A（4，5）為頂點，試在x軸上找一點B，在直線2x-y+2=0上找一點C，使得△ABC周長最�。�

Answer 1

分析 設(shè)A點關(guān)于x軸的對稱點A′（x′，y′），關(guān)于直線l：2x-y+2=0的對稱點為A^″（x^″，y^″），連接A′A^″交l于點C，交x軸于B點．由平面幾何知識可知：點B，C即為所求．利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、中點坐標公式即可得出．

解答 解：設(shè)A點關(guān)于x軸的對稱點A′（x′，y′），關(guān)于直線l：2x-y+2=0的對稱點為A^″（x^″，y^″），連接A′A^″交l于點C，交x軸于B點．
由平面幾何知識可知：點B，C即為所求．
可得A′（4，-5）．
由于點A′與A^″關(guān)于直線l對稱：∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}^{″}-5}{{x}^{″}-4}×2=-1}\\{2×\frac{{x}^{″}+4}{2}-\frac{{y}^{″}+5}{2}+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{″}=0}\\{{y}^{″}=7}\end{array}\right.$．
∴A^″（0，7），∴直線A′A^″的方程為：3x+y-7=0．
令y=0，解得x=$\frac{7}{3}$，∴B$（\frac{7}{3}，0）$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-7=0}\\{2x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$，∴C（1，4）．
于是|AB|+|BC|+|CA|=|A′A^″|=$\sqrt{（0-4）^{2}+（7+5）^{2}}$=4$\sqrt{10}$．
綜上所述：所求的$B（\frac{7}{3}，0），C（1，4）$使得△ABC周長最�。�

點評 本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、中點坐標公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．