Question

10．（1）已知tanα=2，求$\frac{3sinα-2cosα}{sinα+cosα}$的值．
（2）已知$sinα+cosα=\sqrt{2}$，求$tanα+\frac{1}{tanα}$的值．

Answer 1

分析 （1）本題中已知tanα=2，由于$\frac{3sinα-2cosα}{sinα+cosα}$可以通過(guò)分子分母同除以cosα，將其變?yōu)橛胻anα表示，從而求出分式的值，故先用同角函數(shù)基本關(guān)系中的商數(shù)關(guān)系進(jìn)行恒等變形，再代入值求分式的值；
（2）由已知中sinα+cosα=$\sqrt{2}$，兩邊平方后，根據(jù)sin²α+cos²α=1，可求出sinα•cosα=$\frac{1}{2}$，將tanα+cotα切化弦并通分后，結(jié)合sinα•cosα=$\frac{1}{2}$，即可得到答案．

解答 解：（1）由已知易知cosα≠0，
所以原式分子分母同時(shí)除以cosα，得$\frac{3sinα-2cosα}{sinα+cosα}$=$\frac{3tanα-2}{tanα+1}$=$\frac{3×2-2}{2+1}$=$\frac{4}{3}$．
（2）∵sinα+cosα=$\sqrt{2}$，
∴（sinα+cosα）²=1+2sinα•cosα=2，
∴sinα•cosα=$\frac{1}{2}$
∴tanα+cotα
=$\frac{sinα}{cosα}+\frac{cosα}{sinα}$
=$\frac{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}{sinαcosα}$
=$\frac{1}{\frac{1}{2}}$
=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)中分式的形式選擇合適的公式進(jìn)行恒等變形求值，此類(lèi)齊次式，一般是通過(guò)分子分母同時(shí)除以余弦的方式將關(guān)于弦的分式變?yōu)殛P(guān)于切的分式．本題考查了轉(zhuǎn)化化歸的能力及觀(guān)察的能力，利用三角公式進(jìn)行運(yùn)算的能力，利用公式計(jì)算是三角中的重要技能，要熟練掌握公式，靈活運(yùn)用公式．