Question

18．下列命題中，正確的是（　　）

• A． 存在x₀＞0，使得x₀＜sinx₀
• B． “l(fā)na＞lnb”是“10^a＞10^b”的充要條件
• C． 若sinα≠$\frac{1}{2}$，則α≠$\frac{π}{6}$
• D． 若函數(shù)f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1有極值0，則a=2，b=9或a=1，b=3

Answer 1

分析 A．根據(jù)特稱命題的定義進(jìn)行判斷．
B．根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．
C．根據(jù)三角函數(shù)的定義進(jìn)行判斷．
D．根據(jù)函數(shù)極值的性質(zhì)建立方程進(jìn)行求解．

解答 解：設(shè)f（x）=x-sinx，當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）=1-cosx≥0，則函數(shù)此時(shí)為增函數(shù)，即f（x）≥f（0）=0，即x＞sinx成立，故A錯(cuò)誤，
由lna＞lnb得a＞b＞0，由10^a＞10^b得a＞b，故“l(fā)na＞lnb”是“10^a＞10^b”的充分不必要條件，故B錯(cuò)誤，
當(dāng)a=$\frac{π}{6}$時(shí)，sinα=$\frac{1}{2}$，成立，即若sinα≠$\frac{1}{2}$，則α≠$\frac{π}{6}$的等價(jià)條件為真命題，則若sinα≠$\frac{1}{2}$，則α≠$\frac{π}{6}$成立，故C正確，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²+6ax+b，
∵在x=-1有極值0，∴f′（-1）=0，且f（0）=0，
即$\left\{\begin{array}{l}{3-6a+b=0}\\{{a}^{2}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，故D錯(cuò)誤，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)的性質(zhì)，充分條件和必要條件的判斷，函數(shù)的性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多．