Question

5．已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=$\frac{π}{2}$，∠BAA₁=$\frac{2π}{3}$，∠CAA₁=$\frac{π}{3}$，AB=AC=1，AA₁=2，點O是B₁C與BC₁的交點．
（1）求AO的距離；
（2）求異面直線AO與BC所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）設$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow$，$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}_{1}}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}$），由此能求出AO．
（2）由得${\overrightarrow{AO}}^{2}=\frac{3}{2}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，得$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$=1，|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{2}$，由此能求出異面直線AO與BC所成的角的余弦值．

解答 解：（1）設$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow$，$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=$\overrightarrow{c}$，
$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}_{1}}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}$），
∴AO=|$\overrightarrow{AO}$|=$\sqrt{\frac{1}{2}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
（2）由（1），得${\overrightarrow{AO}}^{2}=\frac{3}{2}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$=1，|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{2}$，cos＜$\overrightarrow{AO}，\overrightarrow{BC}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴異面直線AO與BC所成的角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線段長的求法，考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．