Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，△PCB為正三角形，M，N分別為BC，PD的中點．
（Ⅰ）求證：MN∥面APB；
（Ⅱ）若平面PCB⊥平面ABCD，求二面角B-NC-P的余弦值．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取AP中點Q，連接NG，MG，由已知條件推導(dǎo)出四邊形NQBM為平行四邊形，由此能證明MN∥面PAB．
（2）法一：建立空間直角坐標系，得用向量法能求出二面角的余弦值．
（2）法二：連接PM，QM，AM，由已知條件得四邊形QNCB為平行四邊形，從而推導(dǎo)出∠PNQ為二面角P-NC-B的平面角，由此能求出二面角P-NC-B的余弦值．

解答： （1）證明：取AP中點Q，連接NQ，MQ，
由NQ平行且等于BM，得四邊形NQBM為平行四邊形，
從而MN∥BQ，∴MN∥面PAB．…（7分）
（2）解法一：建立空間直角坐標系如圖，
則有P(0，0，

3)

A(

3

，0，0)，B（0，-1，0），C（0，1，0），D(

3

，2，0)，
由N為PD中點，∴N(

3

2

，1，

3

2

)，…（9分）
令平面PNC的法向量

n

=(x， y， z)，
由

n • EN =0 n • EP =0

，令x=-1，則

n

=(-1， 

3

， 1)． …（11分）
同理可知平面BNC的法向量可取

n2

=(

3

，0，-

3

)…（13分）
則cos＜

n

，

n2

＞=

n • n2

| n |•| n2 |

=-

10

5

，
則所求二面角的余弦值為

10

5

；…（15分）
（2）解法二：連接PM，QM，AM，
∵NQ∥MC，且NQ=MC，∴四邊形QNCB為平行四邊形，
∴NQ∥CB且NC∥QM，
∵BC⊥PM，BC⊥AM，∴BC⊥平面PAM，∴BC⊥MQ，即BC⊥NC，
從而NC⊥NQ，又NC⊥NP，
所以∠PNQ為二面角P-NC-B的平面角，
設(shè)BC=a，則△PNQ中，NQ=

a

2

，NP=

1

2

DP=

10

4

a，PQ=

1

2

PA=

6

4

a
所以cos∠PNQ=

NP2+NQ2-PQ2

2NP•NQ

=

10

5

即二面角P-NC-B的余弦值為

10

5

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．