Question

13．已知直線l：y=kx+4，橢圓C：$\frac{x^2}{5}+{y^2}$=1．
（Ⅰ）若直線l過C的左焦點，求實數(shù)k值．
（Ⅱ）若直線l與橢圓C有公共點，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)橢圓方程找出左焦點坐標(biāo)，把左焦點坐標(biāo)代入直線l方程，即可求出實數(shù)k值；
（Ⅱ）聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的方程，求出根的判別式大于等于0時k的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C的方程是$\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1，
∴橢圓C的左焦點是（-2，0），
∵直線l：y=kx+4過C的左焦點，
∴-2k+4=0，解得：k=2；
（Ⅱ）由方程組$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+4}\\{\frac{x^2}{5}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，消去y得（1+5k²）x²+40kx+75=0，
∴△=（40k）²-4×75（1+5k²）=100（k²-3），
當(dāng)△≥0時，解得：k≤-$\sqrt{3}$或k≥$\sqrt{3}$，
則實數(shù)k的取值范圍是（-∞，-$\sqrt{3}$]∪[$\sqrt{3}$，+∞）．

點評 此題考查了橢圓的簡單性質(zhì)，熟練掌握橢圓的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．