Question

3．如圖，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，AC=BC=a，點(diǎn)A₁在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D，A₁D∩AC₁=M，BA₁⊥AC₁．
（Ⅰ）試問在線段AB是否存在一點(diǎn)N，使得MN∥平面BB₁C₁C，若存在，指出N點(diǎn)位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由；
（Ⅱ）求證：四邊形A₁C₁CA是菱形，并求AC₁長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）存在，N點(diǎn)為AB一個(gè)靠近A點(diǎn)的三等分點(diǎn)，即AN=$\frac{1}{3}$AB，連結(jié)BC₁，證明MN∥BC₁即可；
（Ⅱ）由題意，A₁D⊥平面ABC，利用線面垂直的性質(zhì)定理以及判定定理可以得到BC⊥平面AA₁C₁C，只要再得到A₁C⊥AC₁即可．

解答 解：（Ⅰ）存在，N點(diǎn)為AB一個(gè)靠近A點(diǎn)的三等分點(diǎn)，即AN=$\frac{1}{3}$AB．
證明如下：連結(jié)BC₁，
∵AC∥A₁C₁，
∴$\frac{AM}{M{C}_{1}}$=$\frac{AD}{{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}$=$\frac{AN}{NB}$，
∴MN∥BC₁，
又MN?平面BB₁C₁C，BC₁?平面BB₁C₁C，
∴MN∥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）由題意，A₁D⊥平面ABC，
∵BC?平面ABC，∴A₁D⊥BC．
又BC⊥AC，AC∩AD=D₁，
∴BC⊥平面AA₁C₁C，
又AC₁?平面AA₁C₁C，
∴AC₁⊥BC，
又AC₁⊥BA₁，BA₁∩BC=B，
∴AC₁⊥平面A₁CB
又A₁C?平面A₁CB，A₁C⊥AC₁，
∴平行四邊形A₁C₁CA為菱形．
又A₁D⊥AC，D為AC的中點(diǎn)，
∴A₁A=A₁C=AC=a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、線面垂直，考查學(xué)生分析解決問題的能力，掌握線面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理是關(guān)鍵