Question

1．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}a{x^3}+（{a-2}）x+c$的圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）已知f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)．?若數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)${a_n}=\frac{1}{{f'（{n+1}）}}$，求其前n項(xiàng)和S_n；?若$g（x）=\frac{kf'（x）}{x}-2lnx$在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的圖象結(jié)合函數(shù)的極值即可求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和．結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題即可．

解答 解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=ax²+a-2，
由圖象可知f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（0，3），且f′（1）=0，
則$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{2a-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=3}\end{array}\right.$，即f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}-x+3$．
（2）∵f′（x）=x²-1，
∴${a_n}=\frac{1}{{f'（{n+1}）}}$=$\frac{1}{n（n+2）}=\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
則前n項(xiàng)和S_n=$\frac{1}{2}$（1$-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3}{4}$$-\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．
∵若$g（x）=\frac{kf'（x）}{x}-2lnx$=kx-$\frac{k}{x}$-2lnx，
∴g′（x）=k+$\frac{k}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}$=$\frac{k{x}^{2}+k-2x}{{x}^{2}}$，
∵函數(shù)g（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∴若函數(shù)g（x）在其定義域上為增函數(shù)，
則g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，即k≥$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$在（0，+∞）上恒成立，
設(shè)h（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，（x＞0），
則h（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}≤\frac{2}{2}=1$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，取等號(hào)，
∴k≥1，
故k的取值范圍是[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查綜合考查函數(shù)解析式的求解以及數(shù)列求和的計(jì)算，利用裂項(xiàng)法以及參數(shù)分類(lèi)法是解決本題的關(guān)鍵．