Question

9．已知函數(shù)f（x）=e^x+2x²-3x．
（1）求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上存在唯一的極值點；
（2）當x≥0時，若關(guān)于x的不等式f（x）≥$\frac{5}{2}$x³+（a-3）x+1恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求f′（0）與f′（1），看兩值是否異號，然后證明f′（x）在[0，1]上單調(diào)性，即可證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上存在唯一的極值點；
（2）由題意得到e^x-$\frac{1}{2}$x²-ax-1≥0，構(gòu)造g（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²-ax-1，分類討論求出g（x）的最值，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）∵f′（0）=e⁰-3=-2＜0，f′（1）=e+1＞0，
∴f′（0）•f′（1）＜0，
令h（x）=f′（x）=e^x+4x-3，則h′（x）=e^x+4＞0，
∴f′（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
∴f′（x）在[0，1]上存在唯一零點，
∴f（x）在[0，1]上存在唯一的極值點
（2）由 f（x）≥$\frac{5}{2}$x³+（a-3）x+1，
得e^x+2x²-3x≥$\frac{5}{2}$x³+（a-3）x+1
∴e^x-$\frac{1}{2}$x²-ax-1≥0，
令g（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²-ax-1，x≥0，
則g（0）=0，g′（x）=e^x-x-a，
令h（x）=e^x-x-a，
則h′（x）=e^x-1，
∵x≥0，
∴h′（x）≥0，
∴h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）≥h（0）=1-a，
①當a≤1時，h（x）≥0恒成立，即g′（x）≥0，
∴g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）≥g（0）=0，
②當a＞1時，存在x₀∈[0，+∞），使h（x₀）=0，即g′（x₀）=0，
當x∈[0，x₀）時，g′（x）＜0，
∴g（x）在[0，x₀）上單調(diào)遞減，
∴g（x）＜g（0）=0，這與g（x）≥0在[0，+∞）上恒成立矛盾，
綜上所示a≤1．

點評 本題主要考查了利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，以及函數(shù)恒成立問題等基礎題知識，考查運算求解能力、推理論證能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．