Question

2．已知數(shù)列{a_n}中各項(xiàng)都為正數(shù)，且2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1，求：
（1）a_n的通項(xiàng)公式？
（2）令b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n？

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）∵2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1，∴S_n=$\frac{1}{4}（{a}_{n}+1）^{2}$，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{4}（{a}_{n}+1）^{2}$-$\frac{1}{4}（{a}_{n-1}+1）^{2}$，化為：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵數(shù)列{a_n}中各項(xiàng)都為正數(shù)，∴a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=2，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，
∴{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{3}{{3}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{3}^{n}}$+$\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$，
∴$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{3}+2（\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}）$-$\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$=2×$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{1}{3}$-$\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$=$\frac{2}{3}$-$\frac{2n+2}{{3}^{n+1}}$，
∴T_n=1-$\frac{n+1}{{3}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．