Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{e^x}{x}$-$\frac{{aln\frac{x}{2}}}{x^2}$+x，曲線y=f（x）在（2，f（2））處切線的斜率為$\frac{e^2}{4}$．（e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）證明：f（x）＞e+2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用曲線y=f（x）在（2，f（2））處切線的斜率為$\frac{e^2}{4}$，解出即可；
（Ⅱ）令函數(shù)$g（x）=\frac{e^x}{x}$，${g^'}（x）=\frac{{{e^x}（x-1）}}{x^2}$，設(shè)函數(shù)$h（x）=\frac{{8ln\frac{x}{2}}}{x^2}-x$，${h^'}（x）=\frac{{8-16ln\frac{x}{2}-{x^3}}}{x^3}$，令$φ（x）=8-16ln\frac{x}{2}-{x^3}$，${φ^'}（x）=-\frac{16}{x}-3{x^2}＜0$，證明$f（x）=\frac{e^x}{x}-\frac{{8ln\frac{x}{2}}}{x^2}+x\;＞g{（x）_{min}}-h{（x）_{max}}=e+2$．

解答 （Ⅰ）解：因為$f（x）=\frac{e^x}{x}-\frac{{aln\frac{x}{2}}}{x^2}+x$，
所以${f^'}（x）=\frac{{{e^x}（x-1）}}{x^2}-\frac{{a-2aln\frac{x}{2}}}{x^3}+1$，…（2分）
則${f^'}（2）=\frac{e^2}{4}-\frac{a}{8}+1=\frac{e^2}{4}$，得a=8．…（4分）
（Ⅱ）證明：$f（x）=\frac{e^x}{x}-\frac{{8ln\frac{x}{2}}}{x^2}+x$，x∈（0，+∞），
設(shè)函數(shù)$g（x）=\frac{e^x}{x}$，${g^'}（x）=\frac{{{e^x}（x-1）}}{x^2}$，…（6分）
當(dāng)x∈（0，1）時，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，
則g（x）≥g（1）=e．…（8分）
設(shè)函數(shù)$h（x）=\frac{{8ln\frac{x}{2}}}{x^2}-x$，${h^'}（x）=\frac{{8-16ln\frac{x}{2}-{x^3}}}{x^3}$，
令$φ（x）=8-16ln\frac{x}{2}-{x^3}$，${φ^'}（x）=-\frac{16}{x}-3{x^2}＜0$，
則$φ（x）=8-16ln\frac{x}{2}-{x^3}$在x∈（0，+∞）為減函數(shù)，…（10分）
又因為φ（2）=0，則當(dāng)x∈（0，2）時，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）為增函數(shù)，
則當(dāng)x∈（2，+∞）時，φ（x）＜0，即h′（x）＜0，h（x）為減函數(shù)，
所以h（x）≤h（2）=-2，
綜上所述，$f（x）=\frac{e^x}{x}-\frac{{8ln\frac{x}{2}}}{x^2}+x\;＞g{（x）_{min}}-h{（x）_{max}}=e+2$．…（12分）

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程及函數(shù)的最值問題，（Ⅱ）問關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值解決．