Question

14．如圖，已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線AB交拋物線于A、B，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若$\frac{{|{BF}|}}{{|{BC}|}}$=$\frac{1}{2}$，則|AB|=$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出圖形，由$\frac{{|{BF}|}}{{|{BC}|}}=\frac{1}{2}$，及拋物線定義求得$∠CBD=\frac{π}{3}$，進(jìn)一步求得BF，作AE垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于E點(diǎn)，設(shè)|AF|=m，則$|{AE}|=m，\frac{{|{AE}|}}{{|{AC}|}}=\frac{1}{2}$，故$\frac{m}{4+m}=\frac{1}{2}$，求得m值，則AB可求．

解答 解：如圖，作BD垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于D點(diǎn)，

由$\frac{{|{BF}|}}{{|{BC}|}}=\frac{1}{2}$，及拋物線定義可得$cos∠CBD=\frac{{|{BD}|}}{{|{BC}|}}=\frac{1}{2}，∠CBD=\frac{π}{3}$，
∴$|{CF}|=4，|{BF}|=\frac{4}{3}$，
作AE垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于E點(diǎn)，設(shè)|AF|=m，則$|{AE}|=m，\frac{{|{AE}|}}{{|{AC}|}}=\frac{1}{2}$，
故$\frac{m}{4+m}=\frac{1}{2}$，解得m=4，
∴|AB|=|AF|+|BF|=4+$\frac{4}{3}=\frac{16}{3}$．
故答案為：$\frac{16}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，關(guān)鍵是對(duì)拋物線定義的熟練應(yīng)用，是中檔題．