Question

1．如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，DM=$\frac{1}{3}$DE，若$\overrightarrow{AB}$=a，$\overrightarrow{AC}$=b．
（1）用a，b表示$\overrightarrow{BM}$；
（2）若N為線段BC上的點(diǎn)，且BN=$\frac{1}{3}$BC，利用向量方法證明：A，M，N三點(diǎn)共線．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量加法、減法及數(shù)乘的幾何意義，以及三角形中位線的性質(zhì)便可得到$\overrightarrow{BM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）=-\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{6}\overrightarrow$；
（2）同樣可根據(jù)條件求得$\overrightarrow{AN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow$，這樣便得到$\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AM}$，從而有A，M，N三點(diǎn)共線．

解答 解：（1）根據(jù)條件，$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DM}$
=$-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{DE}$
=$-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}$
=$-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$
=$-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$
=$-\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{6}\overrightarrow$；
（2）證明：$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{a}+（-\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{6}\overrightarrow）$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{6}\overrightarrow$，$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow$；
∴$\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AM}$；
∴A，M，N三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法、減法及數(shù)乘的幾何意義，以及向量的數(shù)乘運(yùn)算，三角形中位線的性質(zhì)，共線向量基本定理．