Question

6．在△ABC中，B=$\frac{π}{3}$，3sinC=8sinA，且△ABC的面積為6$\sqrt{3}$，則△ABC的周長為18．

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可得3c=8a，又由B=$\frac{π}{3}$，利用三角形面積公式可求ac=24，聯(lián)立可解得：a，c的值，利用余弦定理可求b的值，即可得解三角形周長．

解答 解：∵3sinC=8sinA，由正弦定理可得3c=8a，①
又∵B=$\frac{π}{3}$，△ABC的面積為6$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac，解得：ac=24，②
∴由①②聯(lián)立，可解得：a=3，c=8，
∴由余弦定理可得：b=$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}-2accosB}$=$\sqrt{9+64-2×3×8×\frac{1}{2}}$=7，
∴△ABC的周長為：a+b+c=3+7+8=18．
故答案為：18．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．