Question

9．設(shè)?x∈[-1，1]，不等式x$\sqrt{3a-{x}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$都成立，則實數(shù)a的值為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 討論當-1≤x≤0時，當0＜x≤1時，由參數(shù)分離和基本不等式可得a的范圍；再由3a-x²≥0恒成立，可得a的范圍，進而求得a的值．

解答 解：當-1≤x≤0時，不等式x$\sqrt{3a-{x}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$都成立；
當0＜x≤1時，不等式x$\sqrt{3a-{x}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$即為：
3a-x²≤$\frac{1}{4{x}^{2}}$，即3a≤x²+$\frac{1}{4{x}^{2}}$在0＜x≤1時恒成立，
由x²+$\frac{1}{4{x}^{2}}$≥2$\sqrt{{x}^{2}•\frac{1}{4{x}^{2}}}$=1，當且僅當x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，取得最小值1．
即有3a≤1，解得a≤$\frac{1}{3}$；
又3a-x²≥0恒成立，則3a≥x²的最大值，即有3a≥1，
解得a≥$\frac{1}{3}$．
綜上可得a=$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查函數(shù)的恒成立問題的解法，注意運用分類討論的思想方法和參數(shù)分離，求函數(shù)的最值，考查運算能力，屬于中檔題．