Question

19．定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為f（x）的上界．已知函數(shù)f（x）=x²-4mx+2m+6，g（x）=f（log₃x）．
（1）若m=1，判斷函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，3]上是否為有界函數(shù)？若是，寫出它的一個上界M的值，若不是，說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，3]上是以10為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得當(dāng)m=1時g（x）=（log₃x-2）²+4，當(dāng)x∈（0，3]時g（x）∈[5，+∞），不是有界函數(shù)；
（2）問題等價于f（x）_min≥-10且f（x）_max≤10，分別由二次函數(shù)的最值可得m的不等式組，解不等式組綜合可得．

解答 解：（1）由題意可得當(dāng)m=1時，g（x）=（log₃x）²-4log₃x+8=（log₃x-2）²+4，
當(dāng)x∈（0，3]時，log₃x∈（-∞，1]，由二次函數(shù)可得g（x）∈[5，+∞），
故不存在常數(shù)M＞0，使得|f（x）|≤M成立，即g（x）不是有界函數(shù)；
（2）由題意可得當(dāng)x∈[0，3]時，|f（x）|≤10恒成立，
等價于f（x）_min≥-10且f（x）_max≤10，
由二次函數(shù)的知識可得f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{2m+6，m≤0}\\{2m-4{m}^{2}+6，0＜m＜\frac{3}{2}}\\{15-10m，m≥\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
由f（x）_min≥-10可解得-8≤m≤$\frac{5}{2}$；①
同理可得f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{15-10m，m≤\frac{3}{4}}\\{2m+6，m＞\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
由f（x）_max≤10可解得$\frac{1}{2}$≤m≤2；②
綜合①②可得$\frac{1}{2}$≤m≤2．

點評 本題考查函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及恒成立以及分類討論的思想和不等式的解法，屬中檔題．