4.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,向量$\overrightarrow{m}$=(cosC,sin$\frac{C}{2}$),向量$\overrightarrow{n}$=(sin$\frac{C}{2}$,cosC),且$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$.
(1)求角C的大;
(2)若a2=2b2+c2,求tanA的值.

分析 (1)先利用向量平行的充要條件,得三角等式,即可求得角C;
(2)先利用余弦定理化簡(jiǎn)已知等式,再利用正弦定理將等式中的邊化為角,并利用(1)和三角變換公式化簡(jiǎn),最后利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得所求

解答 解:(1)∵向量$\overrightarrow{m}$=(cosC,sin$\frac{C}{2}$),向量$\overrightarrow{n}$=(sin$\frac{C}{2}$,cosC),且$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$,
∴cos2C-sin2$\frac{C}{2}$=0
∵C∈(0,π)
∴C=$\frac{π}{3}$;
(2)由余弦定理,a2=2b2+c2=b2+c2-2bccosA,
∴b=-2ccosA,
正弦定理得sinB=-2sinCcosA,C=$\frac{π}{3}$
∴sin($\frac{2π}{3}$-A)=-$\sqrt{3}$cosA,
即$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA+$\sqrt{3}$cosA=0,
∴$\frac{3\sqrt{3}}{2}$cosA=-$\frac{1}{2}$sinA
∴tanA=-3$\sqrt{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角變換公式在三角化簡(jiǎn)和求值中的應(yīng)用,向量平行的充要條件,正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用,屬中檔題.

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