Question

邊長為a的等邊三角形內(nèi)任一點到三邊距離之和為定值，則這個定值為

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2

a；推廣到空間，棱長為a的正四面體內(nèi)任一點到各面距離之和為

 

．

Answer 1

考點：類比推理

專題：推理和證明

分析：由平面圖形的性質(zhì)向空間物體的性質(zhì)進行類比時，常用的思路有：由平面圖形中點的性質(zhì)類比推理出空間里的線的性質(zhì)，由平面圖形中線的性質(zhì)類比推理出空間中面的性質(zhì)，由平面圖形中面的性質(zhì)類比推理出空間中體的性質(zhì)．固我們可以根據(jù)已知中平面幾何中，關(guān)于線的性質(zhì)“正三角形內(nèi)任意一點到三邊距離之和是一個定值”，推斷出一個空間幾何中一個關(guān)于面的性質(zhì)．

解答： 解：在邊長為a的正三角形內(nèi)任一點到三邊的距離之和為定值

3

2

a，
在一個正四面體中，計算一下棱長為a的三棱錐內(nèi)任一點到各個面的距離之和，
如圖：
由棱長為a可以得到BF=

3

2

a，BO=AO=

6

3

a-OE，
在直角三角形中，根據(jù)勾股定理可以得到
BO²=BE²+OE²，
把數(shù)據(jù)代入得到OE=

6

12

a，
∴棱長為a的三棱錐內(nèi)任一點到各個面的距離之和4×

6

12

a=

6

3

a，
故答案為：

6

3

a

點評：本題是基礎(chǔ)題，考查類比推理及正四面體的體積的計算，轉(zhuǎn)化思想的應用，考查空間想象能力，計算能力．