Question

8．在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（　　）

• A． y=$\frac{1}{x}$
• B． y=-x+$\frac{1}{x}$
• C． y=-x|x|
• D． y=$\left\{\begin{array}{l}{-x+1，x＞0}\\{-x-1，x≤0}\end{array}\right.$

Answer 1

分析 根據(jù)反比例函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，減函數(shù)的定義，以及奇函數(shù)的定義，分段函數(shù)單調(diào)性的判斷方法便可判斷每個選項的正誤，從而找出正確選項．

解答 解：A.$y=\frac{1}{x}$在定義域內(nèi)沒有單調(diào)性，∴該選項錯誤；
B.$x=-\frac{1}{2}$時，y=$-\frac{3}{2}$，x=1時，y=0；
∴該函數(shù)在定義域內(nèi)不是減函數(shù)，∴該選項錯誤；
C．y=-x|x|的定義域為R，且-（-x）|-x|=x|x|=-（-x|x|）；
∴該函數(shù)為奇函數(shù)；
$y=-x|x|=\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}}&{x≥0}\\{{x}^{2}}&{x＜0}\end{array}\right.$；
∴該函數(shù)在[0，+∞），（-∞，0）上都是減函數(shù)，且-0²=0²；
∴該函數(shù)在定義域R上為減函數(shù)，∴該選項正確；
D.$y=\left\{\begin{array}{l}{-x+1}&{x＞0}\\{-x-1}&{x≤0}\end{array}\right.$；
∵-0+1＞-0-1；
∴該函數(shù)在定義域R上不是減函數(shù)，∴該選項錯誤．
故選：C．

點評 考查反比例函數(shù)的單調(diào)性，奇函數(shù)的定義及判斷方法，減函數(shù)的定義，以及分段函數(shù)單調(diào)性的判斷，二次函數(shù)的單調(diào)性．