Question

11．如圖，在△ABC中，CD是∠ACB的平分線，△ACD的外接圓交BC于點E，AC=CE=3，AB=4，則AD 的長為（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 2
• C． $\frac{5}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 連接DE，因為ACED是圓的內(nèi)接四邊形，所以△BDE∽△BCA，由此能夠證明BE=$\frac{4}{3}$DA，根據(jù)割線定理得BD•BA=BE•BC，即（AB-AD）•BA=$\frac{4}{3}$DA•（$\frac{4}{3}$DA+CE），由此能求出AD．

解答 解：連接DE，
∵ACED是圓的內(nèi)接四邊形，
∴∠BDE=∠BCA，
∵∠DBE=∠CBA，
∴△BDE∽△BCA，
∴$\frac{BE}{BA}=\frac{DE}{CA}$．
∵CD是∠ACB的平分線，∴AD=DE，
∵AC=CE=3，AB=4，
∴4DA=3BE，即BE=$\frac{4}{3}$DA，
設AD=DE=t，則BE=$\frac{4}{3}$t，
根據(jù)割線定理得BD•BA=BE•BC，
∴（AB-AD）•BA=$\frac{4}{3}$DA•（$\frac{4}{3}$DA+CE），
∴（4-t）×4=$\frac{4}{3}$t（$\frac{4}{3}$t+3），
∴2t²+9t-18=0，
解得t=$\frac{3}{2}$，或t=-6（舍），即AD=$\frac{3}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查與圓有關(guān)的比例線段的應用，是中檔題．解題時要認真審題，仔細解答，注意圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和切割線定理的合理運用．