Question

18．設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²-4x+c（x∈R）的值域?yàn)椋?∞，0]，則$\frac{1}{c}+\frac{9}{a}$的最大值為-3．

Answer 1

分析 由二次函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，0]便可得出a＜0，ac=4，且c＜0，這樣根據(jù)基本不等式即可得到$（-\frac{1}{c}）+（-\frac{9}{a}）≥3$，從而可以得出$\frac{1}{c}+\frac{9}{a}$的最大值．

解答 解：根據(jù)題意知，$a＜0，\frac{4ac-16}{4a}=0$；
∴ac=4；
∴c＜0；
∴$\frac{1}{c}+\frac{9}{a}=-[（-\frac{1}{c}）+（-\frac{9}{a}）]$；
$（-\frac{1}{c}）+（-\frac{9}{a}）≥2\sqrt{\frac{9}{ac}}=2\sqrt{\frac{9}{4}}=3$；
∴$\frac{1}{c}+\frac{9}{a}≤-3$；
∴$\frac{1}{c}+\frac{9}{a}$的最大值為-3．
故答案為：-3．

點(diǎn)評(píng) 考查二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c值域的求法，注意二次函數(shù)值域和二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向的關(guān)系，以及二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向和二次項(xiàng)系數(shù)符號(hào)的關(guān)系，基本不等式在求最值中的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)．