Question

4．設(shè)二項(xiàng)式（$\frac{1}{x}$+x²）³的展開式中常數(shù)項(xiàng)是k，則直線y=kx與曲線y=x²圍成圖形的面積為$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 在二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于零，求得r的值，可得展開式的常數(shù)項(xiàng)為k=3．求出直線y=kx與曲線y=x²圍成交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用定積分求得直線y=kx與曲線y=x²圍成圖形的面積．

解答 解：設(shè)（$\frac{1}{x}$+x²）³的展開式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=${C}_{3}^{r}$•x^r-3•x^2r=${C}_{3}^{r}$•x^3r-3，
令3r-3=0，r=1，故展開式的常數(shù)項(xiàng)為k=3．
則直線y=kx即y=3x，由$\left\{\begin{array}{l}{y=3x}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，求得直線y=kx與曲線y=x²圍成交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）、（3，9），
故直線y=kx與曲線y=x²圍成圖形的面積為${∫}_{0}^{3}$（3x-x²）dx=（$\frac{3}{2}$x²-$\frac{{x}^{3}}{3}$）${|}_{0}^{3}$=$\frac{9}{2}$，
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，利用定積分求曲邊形的面積，屬于基礎(chǔ)題．