Question

14．若點D為橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的右頂點，點A，P在橢圓上關(guān)于坐標原點對稱，直線AD，PD交直線x=3于E，F(xiàn)兩點，則以EF為直徑的圓是否過定點？若是，求出定點；若不是，說明理由．

Answer 1

分析 直線AP的方程為x=ty代入橢圓方程，求出E、F的坐標，求出以線段EF為直徑的圓的方程，令y=0即得結(jié)論．

解答 解：結(jié)論：以EF為直徑的圓過定點（$3±\frac{\sqrt{2}}{2}$，0）．
理由如下：
設(shè)直線AP的方程為：x=ty，A（a，b），P（-a，-b），
直線AP的方程代入橢圓方程可得：（2+t²）y²-4=0，
∴-b²=$\frac{-4}{2+{t}^{2}}$，即$^{2}=\frac{4}{2+{t}^{2}}$，
∴a²=t²b²=$\frac{4{t}^{2}}{2+{t}^{2}}$，∴ab=$\frac{4t}{2+{t}^{2}}$，
∵直線PD的方程為：$y=\frac{a-2}（x-2）$，∴E（3，$\frac{a-2}$），
同理可得F（3，$\frac{a+2}$），
∴以線段EF為直徑的圓的方程為：$（x-3）（x-3）+（y-\frac{a-2}）（y-\frac{a+2}）=0$，
∴（x-3）²+y²-$（\frac{a-2}+\frac{a+2}）y$+$\frac{a-2}•\frac{a+2}$=0，
∵$\frac{a-2}$+$\frac{a+2}$=$\frac{2ab}{{a}^{2}-4}$=$\frac{2×\frac{4t}{2+{t}^{2}}}{\frac{4{t}^{2}}{2+{t}^{2}}-4}$=-t，
$\frac{a-2}•\frac{a+2}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}-4}$=$\frac{\frac{4}{2+{t}^{2}}}{\frac{4{t}^{2}}{2+{t}^{2}}-4}$=-$\frac{1}{2}$，
∴以線段EF為直徑的圓的方程為：（x-3）²+ty-$\frac{1}{2}$=0，
令y=0，即$（x-3）^{2}=\frac{1}{2}$，解得x=$3±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴以EF為直徑的圓過定點（$3±\frac{\sqrt{2}}{2}$，0）．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查恒過定點問題，綜合性強，屬于難題．