Question

12．已知點A（1-m，0），B（1+m，0），若圓C：x²+y²-8x-8y+31=0上存在一點P，使得$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=0，則m的最大值為6．

Answer 1

分析 將圓的方程變成標(biāo)準(zhǔn)方程：（x-4）²+（y-4）²=1，從而可設(shè)P（4+cosθ，4+sinθ），根據(jù)已知條件知道△PAB為直角三角形，并且可求得AB中點為（1，0），從而得到P到該點的距離為|m|，根據(jù)兩點間距離公式從而得到（3+cosθ）²+（4+sinθ）²=m²，將該式可變成26+10sin（θ+φ）=m²，這樣即可求得m的最大值．

解答 解：圓C的方程變成：（x-4）²+（y-4）²=1；
∴設(shè)P（4+cosθ，4+sinθ），如圖：
線段AB的中點坐標(biāo)為（1，0），|AB|=2|m|；
∴P點到線段AB中點的距離為|m|；
∴（3+cosθ）²+（4+sinθ）²=m²；
∴26+6cosθ+8sinθ=m²；
∴26+10sin（θ+φ）=m²，其中tanφ=$\frac{3}{4}$；
∴m²最大為36；
∴m的最大值為6．
故答案為：6．

點評 考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直角三角形的直角頂點到斜邊的距離等于斜邊的一半，中點坐標(biāo)公式，兩非零向量垂直的充要條件，以及利用三角函數(shù)設(shè)圓上點的坐標(biāo)，兩點間距離公式．