Question

5．在直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)F（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0）的距離之和等于4，設(shè)P點(diǎn)的軌跡為曲線C，過點(diǎn)M（1，0）的直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求曲線C的方程；
（2）求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）易知曲線C為橢圓，由定義可知c=$\sqrt{3}$，a=2，從而有b²=1；繼而求得橢圓方程
（2）分情況討論：斜率為0及斜率不存在時易求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值；斜率存在且不為0時，設(shè)l：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線與橢圓，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積運(yùn)算可表示為m的表達(dá)式，利用函數(shù)性質(zhì)可求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的范圍；

解答 解：（1）由題意知曲線C為以F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0）為焦點(diǎn)的橢圓，
且c=$\sqrt{3}$，a=2，∴b²=1，
∴曲線C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$…（4分）
（2）1°當(dāng)l的斜率為0時，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4…（6分）
2°當(dāng)l的斜率不存在時，直線方程為x=1，此時A點(diǎn)、B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），（1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
故$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=1×1+\frac{\sqrt{3}}{2}×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）=\frac{1}{4}$…（8分）
3°當(dāng)l的斜率存在且不為0時，設(shè)l：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（m²+4）y²+2my-3=0∴${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-2m}{{m}^{2}+4}，{y}_{1}{y}_{2}=\frac{-3}{{m}^{2}+4}$，
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}$
=（my₁+1）（my₂+1）+y₁y₂=m²y₁y₂+m（y₁+y₂）+1+y₁y₂
=（m²+1）y₁y₂+m（y₁+y₂）+1=$（{m}^{2}+1）\frac{-3}{{m}^{2}+4}+\frac{-2{m}^{2}}{{m}^{2}+4}+1$
=$\frac{-3{m}^{2}-3-2{m}^{2}+{m}^{2}+4}{{m}^{2}+4}$=$\frac{-4{m}^{2}+1}{{m}^{2}+1}=\frac{-4（{m}^{2}+4）+17}{{m}^{2}+4}$
=-4+$\frac{17}{{m}^{2}+4}∈（-4，\frac{1}{4}）$ …（11分）
綜上可知$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范圍為[-4，$\frac{1}{4}$]…（12分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓的定義、方程、性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系、向量數(shù)量積運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，熟練運(yùn)用韋達(dá)定理是及解決相關(guān)問題的基礎(chǔ)．