Question

14．若函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的值域為[0，+∞），且f（-x）=f（x），x∈R，存在兩條都經過點P（1，-2）且互相垂直的直線l₁，l₂與函數(shù)f（x）的圖象都沒有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是（$\frac{1}{8}$，+∞）．

Answer 1

分析 留言函數(shù)的奇偶性求出b，然后判斷l(xiāng)₁斜率存在，且不為0．設l₁的斜率為k，則l₁的斜率為-$\frac{1}{k}$，則l₁的方程為y+2=k（x-1），l₂的方程為y+2=-$\frac{1}{k}$（x-1）．若直線l₁和l₂，它們與二次函數(shù)y=ax²（a＞0）的圖象都沒有公共點，則他們的方程與拋物線方程聯(lián)立所得的方程無解，進而得到滿足條件的a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的值域為[0，+∞），且f（-x）=f（x），x∈R，
可得b=0，c=0；a＞0，
二次函數(shù)化為y=ax²（a＞0）
易知l₁斜率存在，且不為0．設l₁的斜率為k，則l₁的斜率為-$\frac{1}{k}$，
則l₁的方程為y+2=k（x-1），l₂的方程為y+2=-$\frac{1}{k}$（x-1）．
由$\left\{\begin{array}{l}y={ax}^{2}\\ y+2=k（x-1）\end{array}\right.$得，ax²-kx+k+2=0．
由l₁與二次函數(shù)y=ax²（a＞0）的圖象沒有公共點知，△₁=k²-4a（k+2）＜0…①．
同理，由l₂與二次函數(shù)y=ax²（a＞0）的圖象沒有公共點知，△₂=（-$\frac{1}{k}$）²-4a（-$\frac{1}{k}$+2）＜0…②．
由①得2a-2$\sqrt{{a}^{2}+2a}$＜k＜2a+2$\sqrt{{a}^{2}+2a}$；
由②得k＜$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+2a}}{4a}$，或k＞$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+2a}}{4a}$．
依題意，方程組①②有解．
∵若方程組①②無解?2a-2$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+2a}}{4a}$≥$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+2a}}{4a}$且2a+2$\sqrt{{a}^{2}+2a}$≤$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+2a}}{4a}$，即0＜a≤$\frac{1}{8}$．
∴方程組①②有解⇒a＞$\frac{1}{8}$．
故a的取值范圍為（$\frac{1}{8}$，+∞）．
故答案為：（$\frac{1}{8}$，+∞）．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)的性質，其中將直線與拋物線沒有交點，轉化為聯(lián)立所得的方程組無解，是解答的關鍵．