Question

10．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左焦點(diǎn)F₁坐標(biāo)為$（{-2\sqrt{2}，0}）$，且橢圓C的短軸長(zhǎng)為4，斜率為1的直線l與橢圓G交于A，B兩點(diǎn)，以AB為底邊的等腰三角形，頂點(diǎn)為P（-3，2）
（1）求橢圓C的方程
（2）求△PAB的面積．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)左焦點(diǎn)坐標(biāo)可得$c=2\sqrt{2}$，通過(guò)橢圓C的短軸長(zhǎng)為4可得b=2，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過(guò)設(shè)直線l的方程為y=x+m，并與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可用m表示出|AB|、|PE|，利用PA=PB，E為AB的中點(diǎn)可得PE⊥AB，即可解得m=2，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵左焦點(diǎn)F₁坐標(biāo)為$（{-2\sqrt{2}，0}）$，∴$c=2\sqrt{2}$，
∵橢圓C的短軸長(zhǎng)為4，∴2b=4，即b=2，
∴a²=b²+c²=12，
∴橢圓C方程為：$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$；
（2）設(shè)直線l的方程為：y=x+m，
由$\left\{\begin{array}{l}y=x+m\\ \frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$，消去y整理得：4x²+6mx+3m²-12=0，
設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)為E（x₀，y₀），
則${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{3m}{4}$，${x_1}{x_2}=\frac{{3{m^2}-12}}{4}$，${y_0}={x_0}+m=\frac{m}{4}$，
又PA=PB，E為AB的中點(diǎn)，∴PE⊥AB，
∴${k_{PE}}=\frac{{2-\frac{m}{4}}}{{-3+\frac{3m}{4}}}=-1$，解得m=2，
∴$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=3\sqrt{2}$，
$|{PE}|=\sqrt{{{（-3+\frac{3}{2}）}^2}+{{（2-\frac{1}{2}）}^2}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
∴△PAB的面積$S=\frac{1}{2}|{AB}|•|{PE}|=\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．