【題目】已知函數(shù),

1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

2)證明:若,則對于任意,不等式恒成立.

【答案】1)詳見解析;(2)證明見解析.

【解析】

1)求定義域,求導(dǎo),再分類討論得導(dǎo)數(shù)符號,從而得出函數(shù)的單調(diào)性;

2)原不等式即,變形為,只需證恒成立;設(shè)函數(shù),,結(jié)合導(dǎo)數(shù)易得,,由,得,從而得出證明.

1)解:函數(shù)的定義域為,

①當時,,則內(nèi)單調(diào)遞減;

②當時,由得,,解得,由得,,則內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增;

③當時,,則,則內(nèi)單調(diào)遞減;

④當時,由得,,解得,或,由得,,則內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增;

綜上:當時,內(nèi)單調(diào)遞減;在內(nèi)單調(diào)遞增;

時,內(nèi)單調(diào)遞減;

時,,內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增;

2)證明:原不等式即,變形為,

∴只需證恒成立,

設(shè)函數(shù),,

因為,易得單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

所以

,單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

所以,

因為,所以,即內(nèi)恒成立,

∴若,則對于任意,不等式

練習冊系列答案
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