【題目】已知橢圓：的離心率為，設(shè)直線過橢圓的上頂點和右焦點，坐標(biāo)原點到直線的距離為2.

（1）求橢圓的方程.

（2）過點且斜率不為零的直線交橢圓于，兩點，在軸的正半軸上是否存在定點，使得直線，的斜率之積為非零的常數(shù)？若存在，求出定點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

（1）.根據(jù)過橢圓的上頂點和右頂點，得到的方程為，根據(jù)點到直線的距離為2結(jié)合離心率求解.

（2）設(shè)直線的方程為，，.聯(lián)立方程組消去得，，將韋達(dá)定理代入上式研究與m無關(guān)即可.

（1）設(shè)橢圓的半焦距為，根據(jù)題意，得.

因為過橢圓的上頂點和右頂點，所以的方程為，即.

又由點到直線的距離為2，得，所以.

設(shè)，，則，解得，從而，

所以橢圓的方程為.

（2）依題意設(shè)直線的方程為，，.

聯(lián)立方程組，消去得，

，

所以，，

，

.

假設(shè)存在定點，使得直線，的斜率之積為非零常數(shù)，

則.

要使為非零常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時成立，

此時，，

所以軸的正半軸上存在定點，使得直線，的斜率之積為常數(shù).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；

（2）若對任意實數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)的最大值為，求實數(shù)的取值范圍．

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【題目】在三棱錐中，，二面角、、的大小均為，設(shè)三棱錐的外接球球心為，直線交平面于點，則三棱錐的內(nèi)切球半徑為_______________，__________

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【題目】新《水污染防治法》已由中華人民共和國第十二屆全國人民代表大會常務(wù)委員會第二十八次會議于2017年6月27日通過，自2018年1月1日起施行．2018年3月1日，某縣某質(zhì)檢部門隨機(jī)抽取了縣域內(nèi)100眼水井，檢測其水質(zhì)總體指標(biāo)．

羅斯水質(zhì)指數(shù)

02

24

46

68

810

水質(zhì)狀況

腐敗污水

嚴(yán)重污染

污染

輕度污染

純凈

（1）求所抽取的100眼水井水質(zhì)總體指標(biāo)值的樣本平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）．

（2）①由直方圖可以認(rèn)為，100眼水井水質(zhì)總體指標(biāo)值服從正態(tài)分布，利用該正態(tài)分布，求落在（5.21，5.99）內(nèi)的概率；

②將頻率視為概率，若某鄉(xiāng)鎮(zhèn)抽查5眼水井的水質(zhì)，記這5眼水井水質(zhì)總體指標(biāo)值位于（6，10）內(nèi)的井?dāng)?shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

附：①計算得所抽查的這100眼水井總體指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差為；

②若，則，．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）證明：若，則對于任意，不等式恒成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓，直線交橢圓于兩點，為坐標(biāo)原點.

（1）若直線過橢圓的右焦點，求的面積；

（2）若，試問橢圓上是否存在點，使得四邊形為平行四邊形?若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，為中點，點在上且平面，在延長線上，，交于，且.

（1）證明：平面；

（2）求點到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓.

（Ⅰ）若的一個焦點為，且點在上，求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知上有兩個動點，為坐標(biāo)原點，且，求線段的最小值（用表示）.

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【題目】如圖，在棱長為12的正方體中，已知E，F分別為棱AB，的中點，若過點，E，F的平面截正方體所得的截面為一個多邊形，則該多邊形的周長為________，該多邊形與平面，ABCD的交線所成角的余弦值為________．

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