Question

18．設(shè)函數(shù)$f（x）=ln（{x+1}）+\frac{1}{2}a{x^2}-x$，其中a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）若?x＞0，f（x）≥ax-x成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）令φ（x）=f（x）-ax+x，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出φ（x）的單調(diào)性，進(jìn)而確定a的范圍即可．

解答 解：（I）函數(shù)f（x）=ln（x+1）+x²-x的定義域?yàn)椋?1，+∞），
∴$f'（x）=\frac{{2{x^2}+x}}{x+1}$
令$f'（x）=\frac{{2{x^2}+x}}{x+1}＜0$，解得$x∈（{-\frac{1}{2}，0}）$
當(dāng)$x∈（{-1，-\frac{1}{2}}），（{0，+∞}）$時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)$x∈（{-\frac{1}{2}，0}）$時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
（Ⅱ）因?yàn)?x＞0，f（x）≥ax-x成立，所以$φ（x）=ln（{x+1}）+\frac{1}{2}a{x^2}-ax＞0$對(duì)x＞0
恒成立，$φ'（x）=\frac{1}{x+1}+ax-a=\frac{{a{x^2}+1-a}}{x+1}$
（1）當(dāng)0≤a≤1時(shí)，φ'（x）≥0，則φ（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴φ（x）＞φ（0）=0，滿足題意．
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，令φ'（x）＜0，則$0＜x＜\sqrt{\frac{a-1}{a}}$，
∴φ（x）在$（0，\sqrt{\frac{a-1}{a}}）$上單調(diào)遞減，
∴x∈$（0，\sqrt{\frac{a-1}{a}}）$時(shí)，∴φ（x）＜φ（0）=0，不滿足題意．
（3）當(dāng)a＜0時(shí)，令φ'（x）＞0，則$0＜x＜\sqrt{\frac{a-1}{a}}$，
∴φ（x）在$（0，\sqrt{\frac{a-1}{a}}）$上單調(diào)遞增，在$（\sqrt{\frac{a-1}{a}}，+∞）$上單調(diào)遞減，
取${x_0}=2（1-\frac{1}{a}）∈（\sqrt{\frac{a-1}{a}}，+∞）$時(shí)，$φ（{x_0}）=ln（{{x_0}+1}）+\frac{1}{2}a{x_0}^2-a{x_0}＜{x_0}+\frac{1}{2}a{x_0}^2-a{x_0}$，
∴$φ（{x_0}）＜\frac{1}{2}a{x_0}^2+（1-a）{x_0}=\frac{1}{2}a{x_0}[{x_0}-\frac{2（a-1）}{a}]＜0$，不滿足題意．
綜上所述：a的取值范圍[0，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想，是一道中檔題．