Question

3．已知△ABC的邊長為2的等邊三角形，動點P滿足$\overrightarrow{BP}=\frac{1}{2}{sin^2}θ•\overrightarrow{BC}+{cos^2}θ•\overrightarrow{BA}（θ∈R）$，則$（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）•\overrightarrow{PA}$的取值范圍是[-$\frac{3}{2}$，0]．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合圖形化簡$\overrightarrow{BP}$，得出$\overrightarrow{OP}$=cos²θ•$\overrightarrow{OA}$，O為BC的中點，P在線段OA上，再設(shè)|$\overrightarrow{PO}$|=t，t∈[0，$\sqrt{3}$]，計算（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）•$\overrightarrow{PA}$的最大最小值即可．

解答 解：如圖所示，
△ABC中，設(shè)BC的中點為O，則$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BO}$，
∵$\overrightarrow{BP}$=$\frac{1}{2}$sin²θ•$\overrightarrow{BC}$+cos²θ•$\overrightarrow{BA}$=sin²θ•$\overrightarrow{BO}$+cos²θ•$\overrightarrow{BA}$
=（1-cos²θ）•$\overrightarrow{BO}$+cos²θ•$\overrightarrow{BA}$
=$\overrightarrow{BO}$+cos²θ•（$\overrightarrow{BA}$-$\overrightarrow{BO}$），
即$\overrightarrow{BP}$-$\overrightarrow{BO}$=cos²θ•（$\overrightarrow{BA}$-$\overrightarrow{BO}$），
可得$\overrightarrow{OP}$=cos²θ•$\overrightarrow{OA}$，
又∵cos²θ∈[0，1]，∴P在線段OA上，
由于BC邊上的中線OA=2×sin60°=$\sqrt{3}$，
因此（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）•$\overrightarrow{PA}$=2$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{PA}$，
設(shè)|$\overrightarrow{PO}$|=t，t∈[0，$\sqrt{3}$]，
可得（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）•$\overrightarrow{PA}$=-2t（$\sqrt{3}$-t）=2t²-2$\sqrt{3}$t=2（t-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²-$\frac{3}{2}$，
∴當(dāng)t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時，（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）•$\overrightarrow{PA}$取得最小值為-$\frac{3}{2}$；
當(dāng)t=0或$\sqrt{3}$時，（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）•$\overrightarrow{PA}$取得最大值為0；
∴$（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）•\overrightarrow{PA}$的取值范圍是[-$\frac{3}{2}$，0]．
故答案為：[-$\frac{3}{2}$，0]．

點評 本題著重考查了向量的數(shù)量積公式及其運算性質(zhì)、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，屬于綜合性題目．